Блог → Кратко об основных уравнениях математической физики

Основные "блоки", из которых строится большинство математических моделей физических явлений (если только эти явления не затрагивают процессы превращения элементарных частиц, процессы, происходящие в очень сильных гравитационных полях, на очень больших по сравнению с размерами Солнечной системы или малых по сравнению с размерами атомных ядер расстояниях) - это уравнения механики, электродинамики, уравнения квантовой механики и кинетические уравнения.

Уравнения классической механики, квантовой механики, электродинамики являются формулировками фундаментальных законов природы. Уравнения кинетики, уравнения Больцмана, Власова, уравнения переноса тепла и излучения в простейших случаях можно вывести из фундаментальных законов на основе ряда дополнительных гипотез, в остальных случаях справедливость этих уравнений основывается на экспериментальном подтверждении выводимых из них следствий. Уравнения механики сплошных сред и газовой динамики можно рассматривать как математическую формулировку законов механики в применении к жидким, упругим или газообразным средам, если только постулировать ряд соотношений типа связи между объёмом и давлением, внутренними напряжениями и деформацией и т.д. С другой стороны, эти уравнения можно рассматривать как уравнения, описывающие движения очень большого (в пределе бесконечного) числа взаимодействующих частиц, и тогда с помощью комбинации предельных переходов, не все из которых пока удается математически строго обосновать, можно получить и уравнения механики сплошных сред, и газовой динамики, и дополнительные соотношения типа уравнений состояния. В современной математической физике часто используется комбинация этих подходов.

Все перечисленные выше основные уравнения являются дифференциальными. Поэтому, особенно в ранний период развития математической физики (когда ее основным предметом изучения были задачи механики сплошной среды, электродинамики, теплопроводности, а основными методами - аналитические), её математическим аппаратом была теория дифференциальных уравнений в частных производных.

На математическую физику часто смотрели просто как на посвященный приложениям раздел теории дифференциальных уравнений в частных производных. В то же время сама теория дифференциальных уравнений в частных производных развивалась главным образом в процессе решения задач математической физики: физические аналогии подсказывали правильную математическую постановку задач и иногда указывали на пути их решения.

Многие современные математические теории (теория потенциала, теория ортогональных рядов, теория интегральных уравнений) развились из различных приемов решения дифференциальных уравнений математической физики. Сейчас многие разделы теории дифференциальных уравнений приобрели законченный вид, хотя по-прежнему эта теория занимает (по крайней мере по числу публикаций) центральное место в том разделе математики, который принято называть математическим анализом.

Уравнения, связывающие значение неизвестной функции в данной точке и значения её производных в той же точке, называются дифференциальными. Если неизвестные функции зависят лишь от одной переменной, такие уравнения носят название обыкновенных дифференциальных уравнений. Если функции зависят от нескольких переменных и в уравнение входят частные производные по этим переменным, то такие дифференциальные уравнения называются уравнениями в частных производных. Большинство уравнений математической физики является именно уравнениями в частных производных.

Вернёмся к линейным дифференциальным уравнениям. В любом институтском курсе рассмотриваются простейшие примеры дифференциальных уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типов. По сути, в каждом из примеров нужно найти функцию u(х,у), которая в прямоугольнике D=(x,y;0
Такие задачи называются корректно поставленными. Для каждого рассматриваемого уравнения есть свои дополнительные условия, при которых решение уравнения является корректно поставленной задачей. Физическая интуиция подсказывает, что, например, те дополнительные условия, которые мы принимаем в случае уравнений эллиптического типа (задание функции на всей границе прямоугольника D), для уравнения параболического типа принимать нельзя, ибо для уравнения параболического типа значение функции на верхнем основании прямоугольника однозначно определяется значениями на нижнем основании и боковых сторонах, и его нельзя задать произвольно. Возникает задача: как для произвольно заданного дифференциального уравнения описать все те дополнительные условия, при которых решение этого уравнения является корректно поставленной задачей?

Решением этой и аналогичных проблем занимается общая теория дифференциальных уравнений. Заметим, что очень сложен вопрос и о том, всегда ли существуют для произвольного дифференциального уравнения такие дополнительные условия, которые приводят к корректной задаче. Пока решение этой проблемы удалось получить лишь для некоторого класса линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и лишь тогда, когда область изменения независимых переменных есть полупространство, хотя ряд очень интересных результатов частного характера получен и в других случаях.

Далеко не все интересные и содержательные с физической точки зрения задачи приводят к корректным задачам. Например, некорректной является задача об определении начального распределения температуры тела по измеренной температуре в момент t>0. Теория некорректных задач - весьма важный и развивающийся раздел современной теории дифференциальных уравнений, а в её развитие фундаментальный вклад внесли советские ученые А.Н. Тихонов, В.К. Иванов и М.М. Лаврентьев.

Начала теории дифференциальных уравнений в частных производных впервые были изложены в знаменитом "Интегральном исчислении" Л. Эйлера, которое вышло в 1768-1774 гг. Конечно, это не была теория в современном понимании этого слова, а просто скорее ряд гениальных догадок и набор приемов отыскания решений дифференциальных уравнений (впрочем, отыскание таких приемов - всегда дело первостепенной важности, и совсем недавно удалось найти несколько новых интересных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений).

Одним из первых и до сих пор одним из самых общих и глубоких результатов теории дифференциальных уравнений в частных производных является доказанная в 1874 году С.В. Ковалевской (1850-1891) знаменитая теорема о том, что задача Коши для уравнения с аналитической зависимостью (функция называется аналитической, если она разлагается в ряд Тейлора) от производных и независимых переменных всегда имеет аналитическое решение. Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и очень специальными классами нелинейных уравнений.

В процессе развития теории дифференциальных уравнений в частных производных понятие решения дифференциального уравнения претерпело существенные изменения. Раньше решением дифференциального уравнения называлась функция, которая имеет все входящие в уравнение производные, причем эти производные удовлетворяют уравнению в каждой точке, где ищется решение. Такие решения теперь называются классическими решениями. Понятие классического решения оказалось слишком стеснительным для практики, ибо далеко не все интересные с точки зрения приложений задачи имеют классическое решение.