Блог → Наука о математических моделях физических явлений

Всё верно, речь о математической физике. Этой заметкой я открываю цикл статей, о которых писал в прошлый раз. А свой рассказ о математических моделях хочется начать с шуточного примера. Все мы знаем об известной легенде, что мысль о законе всемирного тяготения возникла у Исаака Ньютона в тот самый момент, когда он наблюдал за падением яблока. Сколько же времени понадобилось Ньютону для открытия великого закона природы?

Что же, давайте прикинем. Если пренебречь сопротивлением воздуха и считать начальную скорость падения яблока равной нулю, то время падения t, ускорение свободного падения g и высота h, с которой упало яблоко, связаны между собой вот таким соотношением:



Из которого мы находим:



Далее, g=10 м/с2, h=2 м, мы получим t=0,6. Итак, чтобы открыть закон тягетения, нужно менее секунды времени! Проанализируем теперь ход рассуждений в процессе решения этой задачи. В данном случае мы рассматриваем физическое явление - падение яблока. Когда падало яблоко, ветка яблони качалась, яблоко в полете вертелось, Ньютон думал и происходило ещё множество других событий, тем или иным образом связанных друг с другом. Во всём этом нас интересует только одна характеристика явления - зависимость времени падения яблока от высоты.

Тем самым мы делаем первый шаг: строим физическую модель явления, выделив в рассматриваемом процессе лишь существенное - связь между временем падения яблока и высотой. Второй шаг: описание физического процесса - падения яблока, уравнением. Уравнение это является математической формулировкой закона свободного падения тел, открытого, по существу, ещё Галилеем на основе анализа экспериментальных данных. Уравнение, как и следовало ожидать, не отражает многих второстепенных черт рассматриваемого явления: колебания ветки, удара яблока о землю и т.п. Но оно позволяет вычислить интересующую нас характеристику явления.

Третий шаг: мы решаем уравнение и находим время t. Решение уравнения - это чисто математическая задача, и правила, по которым мы находим его решение, не зависят от физического смысла переменных t, g, h. Решение этого уравнения можно бы поручить человеку, который вообще ничего не знает о рассматриваемом явлении. Четвертый шаг: решение уравнения мы интерпретируем как время падения яблока и, наконец, на основе наших расчётов, делаем определенные выводы о времени, необходимом для открытия закона всемирного тяготения.

Замечу, что далеко не всегда интерпретация результата решения математической задачи в терминах физической модели явления очевидна. В качестве второго примера давайте рассмотрим рассуждения, часто приводимые в учебниках по физике плазмы при выводе формулы для частоты плазменных колебаний (если вы забыли, то плазма - это газ, состоящий из ионов и электронов).

В каждом макроскопически большом объёме плазмы находится равное число электронов и ионов, поэтому в целом плазма электрически нейтральна. Представим себе, что на плазму падает электромагнитная волна частоты w. Вопрос - как мы можем оценить частоту, при которой волна будет взаимодействовать с плазмой наиболее интенсивно?

Пусть волна распространяется вдоль оси z, а вектор электрического поля коллинеарен оси x. Рассмотрим слой электронов плазмы шириной l. Пусть под действием электрического поля волны этот слой сместится на величину "дельта l". Смещением ионов по сравнению с электронами можно пренебречь, так как масса каждого иона в тысячи раз больше массы электрона, и их смещение будет приблизительно во столько же раз меньше. Тогда справа будет избыток электронов, а слева - их недостаток, в результате возникнет электрическое поле плазмы. Таким образом, на электроны плазмы будет действовать поле E плазмы и поле электромагнитной волны. Уравнение движения электронов плазмы имеет вид:



Из него легко найти смещение:



Значение частоты



при которой смещение "дельта l" стремится к бесконечности , носит название плазменной частоты. Она имеет физический смысл частоты собственных (т.е. происходящих без участия внешних сил) колебаний плазмы.

При совпадении частоты падающей волны с плазменной частотой в рассматриваемой нами модели амплитуда вынужденных колебаний электронов плазмы будет бесконечно большой, на этой основе обычно делается вывод о том, что электромагнитные волны с частотой, близкой к плазменной частоте, сильно взаимодействуют с плазмой.

Мы описали взаимодействие плазмы с волной уравнением. Ясно, что это описание - очень грубое приближение (мы не учли многих факторов - неоднородности плазмы, движения ионов, влияния магнитного поля и т.д.), поэтому на основе нашего приближения мы можем делать выводы лишь о порядке интересующей нас величины.

В таком случае, вполне естественно желание получить более точные результаты. На первый взгляд сделать это легко: хорошо известны уравнения которые описывают плазму, подробно учитывая все факторы - движение электронов и ионов, влияние магнитного поля и т.д. Но оказывается, что, во-первых, в общем случае эти уравнения очень сложны и, во-вторых, в качестве исходных данных в эти уравнения входят величины, которые известны из эксперимента с большой погрешностью. Здесь мы сталкиваемся с одной из центральных проблем математической физики - проблемой выбора между подробностью описания явления и возможностью эффективно провести численные расчеты. Чем точнее мы пытаемся учесть все процессы в происходящем явлении, тем сложнее становится его математическое описание и тем труднее получить количественную информацию на основе этого описания. Случается так, что математическая формулировка физических законов, описывающих явление, настолько сложна, что непосредственно на основе этой формулировки с помощью современных вычислительных средств нет возможности получить количественную информацию о явлении. Именно такая ситуация типична для большинства задач современной математической физики. Чтобы понять, как в математической физике решается эта проблема, проанализируем наши рассуждения, связанные с двумя рассмотренными выше примерами.

И в задаче о вычислении времени падения яблока, и в задаче о вычислении частоты собственных колебаний плазмы мы руководствовались следующей схемой исследования.



Обратим внимание на то, что для вычисления нужной характеристики явления нам пришлось дать его математическое описание. Это математическое описание называется математической моделью явления, и это будет именно то, о чём я расскажу в своей следующей заметке. Сегодня же я заканчиваю, до встречи на страницах блога!